MS-A0108 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, 26.02.2019-09.04.2019

Funktiolla \(f\colon A\to \mathbb{R}\) on paikallinen maksimiarvo pisteessä \(x_0\in A\), jos jollakin \(h\gt 0\) ja kaikilla \(x\in A\), joille \(|x-x_0|\lt h\), pätee \(f(x)\leq f(x_0)\).

Vastaavasti, funktiolla \(f\colon A\to \mathbb{R}\) on lokaali minimiarvo pisteessä \(x_0\in A\) , jos jollakin \(h>0\) ja kaikilla \(x\in A\), joille \(|x-x_0|\lt h\), pätee \(f(x)\geq f(x_0)\).

Paikallinen ääriarvo on paikallinen maksimi- tai minimiarvo.

Huomautus. Jos \(x_0\) on paikallinen maksimiarvo ja \(f'(x_0)\) on olemassa, niin \[\begin{cases}f'(x_0) & =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \leq 0 \\ f'(x_0) & =\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \geq 0.\end{cases}\] Tällöin \(f'(x_0)=0\).

Saadaan

Lause 1.

Olkoon \(x_0\in [a,b]\) jatkuvan funktion \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) paikallinen ääriarvokohta. Tällöin joko

1. funktiota \(f'(x_0)\) ei ole olemassa (sisältää myös tapaukset \(x_0=a\) ja \(x_0=b\)) tai

2. \(f'(x_0)=0\).

Olkoon \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) määritelty siten, että \[f(x) = x^3 -3x + 1.\] Tällöin \[f'(x) = 3x^2-3,\] jolla on nollakohdat \(x_0 = -1\) ja \(x_0 = 1\). Näissä kohdissa funktio \(f\) saa paikalliset minimi- ja maksimiarvonsa. \[f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 3 = 0 \text{ ja } f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0.\]

Käytännössä etsittäessä funktion paikallisia ääriarvoja, on tarkistettava kolmentyyppiset pisteet:

1. derivaatan nollakohdat

2. määrittelyvälin päätepisteet

3. pisteet, joissa funktio ei ole derivoituva

Jos satumme tietämään etukäteen, että funktiolla on minimi/maksimi, lähdemme liikkelle etsimällä kaikki mahdolliset ääriarvokohdat (edellä kuvatut pisteet), laskemme funktion arvot näissä pisteissä ja valitsemme niistä suurimman/pienimmän.

Etsitään funktion \(f\colon [0,2]\to \mathbf{R}\), \(f(x)=x^3-6x\) suurin ja pienin arvo. Koska funktio on jatkuva suljetulla välillä, sillä on maksimi ja minimi. Koska funktio on derivoituva, riittää tarkastella funktion arvoja välin päätepisteissä ja välille sisältyvissä derivaatan nollakohdissa.

Derivaatan nollakohdat: \(f'(x)=3x^2-6=0 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}\). Koska \(-\sqrt{2}\not\in [0,2]\), riittää laskea funktion arvot kolmessa pisteessä, \(f(0)=0\), \(f(\sqrt{2})=-4\sqrt{2}\) ja \(f(2)=-4\). Näistä nähdään, että funktion pienin arvo on \(-4\sqrt{2}\) ja suurin arvo on \(0\).

Seuraavaksi muotoilemme keskeisen derivoituvia funktioita koskevan lauseen. Lauseen ydinajatuksena on, että lukuvälillä voi tapahtua muutos vain silloin, kun se sattuu jossakin välin sisältämässä pisteessä.

Lause 2.

(Differentiaalilaskennan väliarvolause). Olkoon funktio \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) jatkuva suljetulla välillä \([a,b]\) ja derivoituva avoimella välillä \((a,b)\). Tällöin \[f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] jollakin \(x_0\in (a,b).\)

Todistus.

Tuloksella on seuraavanlainen tärkeä sovellus:

Lause 3.

Olkoon \(f\colon (a,b)\to \mathbb{R}\) derivoituva funktio. Tällöin:

1. Jos kaikilla \(x\in (a,b)\) on \(f'(x)\geq 0\), niin \(f\) on kasvava.

2. Jos kaikilla \(x\in (a,b)\) on \(f'(x)\leq 0\), niin \(f\) on vähenevä.

Todistus.

Polynomifunktion \(f(x) = \frac{1}{4} x^4-2x^2-7\) derivaatta on \[f'(x) = x^3-4x = x(x^2-4) = 0,\] kun \(x=0\), \(x=2\) tai \(x=-2\). Voimme laatia taulukon:

	\(x<-2\)	\(-2 \lt x \lt 0\)	\(0 \lt x \lt 2\)	\(x>2\)
\(x\)	\(<0\)	\(<0\)	\(>0\)	\(>0\)
\(x^2-4\)	\(>0\)	\(<0\)	\(<0\)	\(>0\)
\(f'(x)\)	\(<0\)	\(>0\)	\(<0\)	\(>0\)
\(f(x)\)	väh.	kasv.	väh.	kasv.

Tehtävänämme on etsiä suorakulmio, jonka ala on \(9\) ja jonka piiri on mahdollisimman pieni.

Olkoot \(x\ (>0)\) ja \(y\ (>0)\) suorakulmion sivuja. Tällöin \(x \cdot y = 9\) ja siis \(y=\frac{9}{x}\). Suorakulmion piiri on \[2x+2y = 2x+2 \frac{9}{x} = \frac{2x^2+18}{x}.\] Missä pisteessä funktio \(f(x) = \frac{2x^2+18}{x}\) saa minimiarvonsa? Funktio \(f\) on jatkuva ja derivoituva, kun \(x>0\). Käyttämällä osamäärän derivointisääntöä saadaan \[f'(x) = \frac{4x \cdot x-(2x^2+18) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2-18}{x^2}.\] Derivaatta \(f'(x) = 0\), kun \[\begin{aligned}2x^2-18 &= 0 \\ 2x^2 &= 18 \\ x^2 &= 9 \\ x &= \pm 3\end{aligned}\] mutta koska vaadimme, että \(x>0\), riittää tarkastella vain tapausta \(x=3\). Laaditaan taulukko:

	\(x<3\)	\(x>3\)
\(f'(x)\)	\(<0\)	\(>0\)
\(f(x)\)	väh.	kasv.

Koska funktio \(f\) on jatkuva, tiedämme, että funktio saa pienimmän arvonsa pisteessä \(x=3\). Nyt voimme laskea suorakulmion toisen sivun pituuden: \(y=\frac{9}{x}=\frac{9}{3}=3\).

Osoittautui, että suorakulmio, jonka piiri on mahdollisimman pieni, on itse asiassa neliö, jonka sivujen pituus on \(3\).

Tehtävänämme on rakentaa tilavuudeltaan yhden litran mitta-astia, joka on suoran ympyräpohjaisen lieriön muotoinen, ilman päälliskantta. Ongelmana on määrittää optimaalisimmat arvot mitta-astian pohjalle ja korkeudelle, jotta sen valmistamiseen tarvittaisiin mahdollisimman vähän materiaalia.

Olkoon \(r \, (>0)\) lieriön säde ja olkoon \(h \, (>0)\) lieriön korkeus. Lieriön tilavuus on siten \(1\) dm\(^3\) ja koska \(\pi r^2 h = 1\), saadaan \[h = \frac{1}{\pi r^2}.\]

Lieriön pinnan valmistamiseen tarvittavan materiaalin määrä on siis \[A_{\text{pohja}} + A_{\text{vaippa}} = \pi r^2 + 2 \pi r h = \pi r^2 + \frac{2 \pi r}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2}{r}.\]

Olkoon \(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}\) määritelty siten, että \[f(r) = \pi r^2 + \frac{2}{r}.\] Tavoitteenamme on löytää jatkuvan ja derivoituvan funktion \(f\) minimiarvo, kun \(r>0\). Käyttämällä resiprositeettisääntöä saadaan \[f'(r) = 2\pi r -2 \cdot \frac{1}{r^2} = \frac{2\pi r^3 - 2}{r^2}.\] Derivaatta \(f'(r) = 0\), kun \[\begin{aligned}2\pi r^3 - 2 &= 0 \\ 2\pi r^3 &= 2 \\ r^3 &= \frac{1}{\pi} \\ r &= \frac{1}{\sqrt[3]{\pi}}.\end{aligned}\]

Laaditaan taulukko:

	\(r<\frac{1}{\sqrt[3]{\pi}}\)	\(r>\frac{1}{\sqrt[3]{\pi}}\)
\(f'(r)\)	\(<0\)	\(>0\)
\(f(r)\)	väh.	kasv.

Koska funktio \(f\) on jatkuva, tiedämme, että se saa minimiarvonsa pisteessä \(r= \frac{1}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 0.683\). Siten \[h = \frac{1}{\pi r^2} = \frac{1}{\pi \left(\frac{1}{\sqrt[3]{\pi}}\right)^2} = \frac{1}{\frac{\pi}{\pi^{2/3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 0.683.\]

Saatu vastaus tarkoittaa, että halutunlaisen mitta-astian valmistamiseen tarvitaan materiaalia mahdollisimman vähän silloin, kun astia on halkaisijaltaan noin \(2 \cdot 0.683\) dm \( = 1.366\) dm \( \approx 13.7\) cm ja korkeudeltaan noin \(0.683\) dm \( \approx 6.8\) cm.