2. Integraali

2.1. Integraalin ominaisuuksia, analyysin peruslause, integraalifunktio

Integraalin ominaisuuksia

Paloittain jatkuvien funktioiden integraalille pätee

  • Lineaarisuus: Jos \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\), niin \[ \int_a^b\bigl( c_1f(x)+c_2g(x)\bigr) \, dx=c_1\int_a^bf(x)\, dx+c_2\int_a^bg(x)\, dx. \]
  • Positiivisuus: Jos \(h(x)\ge 0\) kaikilla \(x\), niin \(\displaystyle{\int_a^b h(x)\, dx \ge 0}\).
  • Seuraus: \(\displaystyle{ f(x)\le g(x) \Rightarrow \int_a^bf(x)\, dx\le \int_a^bg(x)\, dx }\)
  • Erityisesti: Koska \(\pm f(x)\le |f(x)|\), niin \[ \pm \int_a^bf(x)\, dx \le \int_a^b |f(x)|\, dx \Rightarrow \left| \int_a^bf(x)\, dx\right| \le \int_a^b|f(x)|\, dx. \]

Differentiaali- ja integraalilaskennan peruslause

Lause 1.

(Keskiarvoperiaate). Jos \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) on jatkuva, niin \[ \int_a^bf(x)\, dx = f(c)(b-a)\ \text{ jollakin } c\in [a,b], \text{ ts. } \] \[ f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\, dx = \overline{f} = \text{funktion } f \text{ keskiarvo välillä } [a,b]. \]

Perustelu.

Lause 2.

(Analyysin peruslause). Jos \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) on jatkuva, niin \[ \frac{d}{dx} \int_a^xf(t)\, dt = f(x) \] kaikilla \(x\in \, ]a,b[\).

Perustelu.

Integraalifunktio

Määritelmä 1.

Jos \(F'(x)=f(x)\) jollakin avoimella välillä, niin \(F\) on funktion \(f\) integraalifunktio.

Peruslauseen mukaan kaikilla jatkuvilla funktioilla \(f\) on integraalifunktio \[ F(x)=\int_a^x f(t)\, dt. \] Sitä ei aina voida esittää alkeisfunktioiden avulla, vaikka \(f\) olisi alkeisfunktio; esim. \(f(x)=e^{-x^2}\) . Tällaisia integraalifunktioita (ja muita vastaavia) kutsutaan erikoisfunktioiksi.

Integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen, mutta eri integraalifunktiot poikkeavat toisistaan vain vakiolla; merkitään \[ \int f(x)\, dx =F(x)+C, \ C\in {\mathbb{R}}\ \text{ vakio}, \] jos \(F'(x)=f(x)\).

Perustelu.

Lause 3.

Jos \(f\colon [a,b]\to\mathbb{R}\) on jatkuva, niin sen määrätty integraali voidaan laskea (päätepisteissäkin jatkuvan) integraalifunktion \(G\) avulla: \[ \int_a^bf(x)\, dx = G(x)\bigg|_{x=a}^{x=b} = G(b)-G(a). \]

Perustelu.

Tärkeimmät integraalifunktiot saadaan suoraan derivoimissäännöistä:

\begin{eqnarray} \int x^r \, dx & = & \frac{1}{r+1}x^{r+1}+C, \ r\neq -1 \nonumber \\ \int x^{-1} \, dx & = & \ln |x|+C \nonumber \\ \int e^x \, dx & = & e^x+C \nonumber \\ \int \sin x \, dx & = & -\cos x+C \nonumber \\ \int \cos x \, dx & = & \sin x+C \nonumber \\ \int \frac{dx}{1+x^2} & = & \arctan x+C \nonumber \end{eqnarray}
Esimerkki 1.

Laske integraalit \(\displaystyle{\int_{-1}^1e^{-x}\, dx}\) ja \(\displaystyle{\int_{0}^1\sin (\pi x)\, dx}\).

Ratkaisu. Ensimmäinen integraalifunktio on \(-e^{-x}\), joten integraalin arvo on \[ \int_{-1}^1e^{-x}\, dx = -e^{-1}+e^1 = 2\sinh 1. \] Toinen integraalifunktio on \(-\frac{1}{\pi}\cos (\pi x)\), joten integraalin arvo on \[ \int_{0}^1\sin (\pi x)\, dx =-\frac{1}{\pi}(\cos \pi - \cos 0) =\frac{2}{\pi}. \]

Esimerkki 2.

Laske integraali \(\displaystyle{\int_{0}^1\frac{x}{\sqrt{25-9x^2}}\, dx}\).

Ratkaisu. Integraalifunktion oikea muoto voisi olla \(F(x)=a(25-9x^2)^{1/2}\); tarkistetaan kerroin \(a\) derivoimalla: \[ D\bigl( a(25-9x^2)^{1/2}\bigr) = a\cdot \frac{1}{2}\cdot (-18x) (25-9x^2)^{-1/2} = \frac{-9ax}{\sqrt{25-9x^2}}, \] joten valinnalla \(a=-1/9\) saadaan oikea integraalifunktio. Näin ollen \[ \int_{0}^1\frac{x}{\sqrt{25-9x^2}}\, dx =-\frac{1}{9} \cdot (25-9x^2)^{1/2}\bigg|_{x=0}^{x=1} =-\frac{1}{9}\bigl(\sqrt{16}-\sqrt{25}\, \bigr) = \frac{1}{9}. \] Toinen tapa: Käytetään myöhemmin käsiteltävää sijoitusmenetelmää.

Peruslauseen avulla saadaan seuraava yleisempi derivoimiskaava:

Lause 4.
Jos \(f\) on jatkuva ja funktiot \(a\) ja \(b\) ovat derivoituvia, niin \[ \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\, dt = f\bigl( b(x)\bigr) b'(x)-f\bigl( a(x)\bigr) a'(x). \]

Perustelu.