2. Integraali

2.2. Geometrisia sovelluksia

Tasoalueen pinta-ala

Jos \(f(x)\ge 0\), niin \(\int_a^bf(x)\, dx\) on funktion kuvaajan ja \(x\)-akselin rajoittaman tasoalueen pinta-ala välillä \([a,b]\).

Yleisemmin: \(\int_a^b\bigl| f(x)-g(x)\bigr| \, dx\) on kuvaajien \(y=f(x)\) ja \(y=g(x)\) väliin jäävän alueen pinta-ala välillä \([a,b]\).

Kuvaajan kaarenpituus

Funktion kuvaajan \(y=f(x)\) kaarenpituus välillä \([a,b]\) on \[ \ell =\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx. \]

Idea: Lyhyellä välillä \([x,x+\Delta x]\) kaarenpituusalkio on muotoa \[ \Delta s\approx \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} =\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^2}\, \Delta x\approx \sqrt{1+f'(x)^2}\, \Delta x. \]

Pyörähdyspinnan pinta-ala

Kun funktion \(f\) kuvaaja \(y=f(x)\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([a,b]\), niin syntyvän pyörähdyspinnan pinta-ala on \[ A=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx. \]

Idea: Kun pieni pala kuvaajaa (kaarenpituus \(\Delta s\)) pyörähtää, niin vastaava pinta-alkio pyörähdyspinnalla on \[ \Delta A \approx \text{piiri}\cdot \text{leveys} = 2\pi |f(x)|\cdot \Delta s. \] Tarkempi arvio saadaan approksimoimalla pinta-alkiota katkaistulla kartiolla, mutta se johtaa samaan lopputulokseen.

Pyörähdyskappaleen tilavuus

Jos kappaletta leikataan \(yz\)-tason suuntaisella tasolla kohdassa \(x\) ja poikkileikkauksen pinta-ala on \(A(x)\), kun \(x\in [a,b]\), niin kappaleen tilavuus on \[ V=\int_a^b A(x)\, dx. \]

Kun funktion \(f\) kuvaaja \(y=f(x)\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([a,b]\), niin se rajaa pyörähdyskappaleen, jonka tilavuus on \[ V=\pi \int_a^bf(x)^2\, dx \] Syy: Poikkileikkaus kohdassa \(x\) on \(f(x)\)-säteinen ympyrä, joten \(A(x)=\pi f(x)^2\).

Yleisemmin: Jos \(0\le g(x)\le f(x)\) ja kuvaajien \(y=g(x)\) ja \(y=f(x)\) välinen alue pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([a,b]\), niin saadun kappaleen tilavuus on \[ V=\pi \int_a^b\bigl( f(x)^2-g(x)^2\bigr) \, dx. \] Huom: Tulos ei ole sama kuin \(\displaystyle{\pi \int_a^b\bigl( f(x)-g(x)\bigr) ^2\, dx}\).

Kun käyrä \(y=f(x)\), \(a\le x\le b\), pyörähtää \(y\)-akselin ympäri, niin vastaavan pyörähdyskappaleen tilavuus on \[ V=2\pi \int_a^bxf(x)\, dx. \]