2. Integraali

2.3. Epäoleellinen integraali, majoranttiperiaate

Epäoleellinen integraali

Kaksi eri perustyyppiä:

  • Tyyppi I: Integroimisvälinä \([a,\infty[\) tai \(]-\infty,b]\) tai koko \({\mathbb{R}}\)
  • Tyyppi II: Funktio \(f\colon \, ]a,b[\, \to {\mathbb{R}}\) ei ole rajoitettu tai sillä ei ole toispuoleisia raja-arvoja päätepisteissä

Jos ongelmia on molemmissa päätepisteissä tai integroimisvälin sisällä, niin integroimisväli jaetaan niin moneen osaan, että kussakin osassa vain yksi ongelmakohta: vaaditaan, että jokainen erikseen antaa äärellisen tuloksen, jolloin koko integraali = osien summa.

Esimerkki 1.

\[ \int_0^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} + \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}, \] jos molemmat oikean puolen integraalit suppenevat (kuten myöhemmissä esimerkeissä osoitetaan).

Tyyppi I

Määritelmä 1.

Olkoon \(f\colon [a,\infty [\, \to {\mathbb{R}}\) paloittain jatkuva. Tällöin \[ \int_a^{\infty}f(x)\, dx=\lim_{R\to \infty}\int_{a}^Rf(x)\, dx, \] jos raja-arvo olemassa ja äärellinen. Sanotaan: Funktion \(f\) epäoleellinen integraali suppenee välillä \([a,\infty [\).

Vastaavasti funktiolle \(f\colon ]-\infty,b] \to {\mathbb{R}}\) määritellään \[ \int_{-\infty}^bf(x)\, dx=\lim_{R\to \infty}\int_{-R}^bf(x)\, dx, \] jos raja-arvo olemassa ja äärellinen.

Esimerkki 2.

Laske epäoleellinen integraali \(\displaystyle{\int_0^{\infty}e^{-x}\, dx}\).

Ratkaisu. Koska \[ \int_0^Re^{-x}\, dx = - e^{-x}\bigg|_{x=0}^{x=R} =1-e^{-R} \to 1, \] kun \(R\to\infty\), niin epäoleellinen integraali suppenee ja \[ \int_0^{\infty}e^{-x}\, dx=1. \]

Integraali koko reaaliakselin yli
Esimerkki 3.

Funktiolle \(f(x)=x\) pätee \[ \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R f(x)\, dx = 0, \] koska kaikki integraalit ovat nollia. Yleisemmin sama pätee kaikille parittomille funktioille \(f(x)\).

Integraalin määritelmä koko reaaliakselin yli yllä olevaa raja-arvoa käyttämällä on periaatteessa mahdollinen, mutta johtaa hieman kummallisiin tuloksiin. Sille (ja muille samantapaisille variaatioille) käytetään nimitystä Cauchyn pääarvointegraali, mutta se ei ole integraalin "virallinen" määritelmä.

Määritelmä 2.

Jos \(f\colon {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) on paloittain jatkuva, niin \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, dx=\int_{-\infty}^0f(x)\, dx + \int_0^{\infty}f(x)\, dx, \] jos molemmat oikean puolen integraalit suppenevat.

Kuitenkin pätee: Jos \(f(x)\ge 0\) kaikilla \(x\in {\mathbb{R}}\), niin \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, dx=\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^Rf(x)\, dx \] Syy: Positiivisen funktion tapauksessa ei voi tapahtua esimerkin tapaista \(\pm \infty\) kumoutumista, joka voi muuten sekoittaa asiaa. Tämä kaava ei siis päde yleisesti, vrt. tapaus \(f(x)=x\).

Tyyppi II

Perustapaus \(f: \, ]a,b]\to {\mathbb{R}}\) jatkuva, mutta sillä ei äärellistä raja-arvoa, kun \(x\to a+\). Tällöin määritellään \[ \int_a^bf(x)\, dx =\lim_{\varepsilon \to 0+}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)\, dx, \] jos raja-arvo on olemassa ja äärellinen.

Esimerkki 4.

Laske epäoleellinen integraali \[ \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}. \]

Ratkaisu. Koska \[ \int_{\varepsilon}^1\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}\bigg|_{x=\varepsilon}^{x=1} =2-2\sqrt{\varepsilon} \to 2, \] kun \(\varepsilon\to0+\), niin integraali suppenee ja sen arvo on 2.

Majoranttiperiaate

Epäoleellisen integraalin suppenemista voidaan tutkia majoranttiperiaatteen avulla, josta seuraavassa eräs versio.

Lause 1.

Olkoon \(|f(x)|\le g(x)\) välillä \(a < x \le b\). Jos epäoleellinen integraali \[ I= \int_a^b g(x)\, dx \] suppenee, niin myös \[ \int_a^b f(x)\, dx \] suppenee ja sen itseisarvo on korkeintaan \(I\).

Esimerkki 5.

Ratkaisu. Koska \[ 0\le \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\le \frac{1}{\sqrt{x}} \text{ välillä } 0 < x \le 1 \] ja \[ \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \] suppenee, niin majoranttiperiaatteen mukaan \[ \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} \] suppenee ja sen arvo on \(<2\).

Esimerkki 6.

Vastaavasti \[ 0\le \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}< \frac{1}{\sqrt{x}(0+x)} = \frac{1}{x^{3/2}}, \text{ kun } x\ge 1. \] Koska \(\displaystyle{ \int_1^{\infty} x^{-3/2}\, dx = 2 }\) suppenee, niin majoranttiperiaatteen mukaan \[ \int_1^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} \] suppenee ja sen arvo on \(<2\).

Huomataan: Sopivan majorantin valinta riippuu sekä funktiosta että integroimisvälistä!