MS-A0108 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, 26.02.2019-09.04.2019

Lause 1.

Olkoot \(f\) ja \(g\) jatkuvasti derivoituvia funktioita välillä \([a,b]\) (eli käytännössä hieman suuremmalla avoimella välillä). Tällöin \[ \int_a^bf'(x)g(x)\, dx = f(x)g(x)\bigg|_{x=a}^{x=b} -\int_a^bf(x)g'(x)\, dx. \] Vastaavasti integraalifunktioille pätee \[ \int f'(x)g(x)\, dx =f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\, dx. \]

Perustelu: Tulon derivoimissääntö, integrointi ja termien ryhmittely.
Idea: Toimii silloin, kun funktion \(f(x)g'(x)\) integrointi on helpompaa kuin alkuperäisen funktion \(f'(x)g(x)\).

Esimerkki 1.

Laske integraali \[ \int_0^{\pi}x\sin x\, dx. \]

Kokeillaan osittaisintegrointia ja valitaan \(f'(x)=\sin x\) ja \(g(x)=x\), jolloin \(f(x)=-\cos x\) (vakiota ei tässä tarvita, mutta ei se väärinkään ole) ja \(g'(x)=1\). Näin saadaan \[\begin{aligned} \int_0^{\pi} x \sin x\, dx & = (-\cos x)\cdot x \bigg|_{x=0}^{x=\pi} - \int_0^{\pi}(-\cos x)\cdot 1\, dx \\ & = -\pi \cos \pi + 0 + \sin x\bigg|_{x=0}^{x=\pi} =\pi. \end{aligned}\]

Huom: Jos \(f\) ja \(g\) valitaan esimerkissä toisin päin, niin osittaisintegrointi johtaa entistä hankalampaan integraaliin.

Lause 2.

Jos \(f\) on jatkuva ja \(g\) jatkuvasti derivoituva suljetulla välillä \([a,b]\), niin \[ \int_a^bf(g(x))g'(x)\, dx = \int_{A}^{B} f(u)\, du, \] kun \(A=g(a),\ B=g(b)\).

Käytännössä: Sijoitus \(u=g(x)\), jolloin \[ \frac{du}{dx}=g'(x) \Rightarrow du =g'(x)\, dx \] Rajojen muutos: \(x=a \Rightarrow u=g(a)=A\), \(x=b \Rightarrow u=g(b)=B\).

Perustelu: Seuraa yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä integroimalla.

Huomaa, että sijoituksen jälkeen ei tarvitse enää palata alkuperäiseen muuttujaan \(x\) (paitsi integraalifunktiota laskettaessa; ks. alla).

Muunnos \(u=g(x)\) voidaan (usein) kirjoittaa myös käänteisfunktion avulla: \[\begin{aligned} x & =g^{-1}(u) \Rightarrow \\ dx & =(g^{-1})'(u)\, du = \frac{1}{g'\bigl( g^{-1}(u)\bigr) }\, du =\frac{1}{g'(x)}\, du, \end{aligned}\] joten tulos on sama kuin aikaisemmin. On suositeltavaa kirjoittaa muunnos aina molempiin suuntiin, koska rajojen laskeminen on helpompaa alkuperäistä muotoa käyttämällä, mutta differentiaalin muuttuminen on (yleensä) helpompi laskea käänteisen muodon avulla.

Esimerkki 2.

Laske integraali \(\displaystyle{\int_0^{\pi^2}\sin \sqrt{x}\, dx}\).

Neliöjuuri hankaloittaa integroimista, joten sijoitetaan \(x=t^2\), kun \(t\ge 0\). Tällöin \(dx=2t\, dt\) ja käänteisestä muodosta \(t=\sqrt{x}\) saadaan (hieman helpommin): kun \(x=0\), niin \(t=\sqrt{0}=0\); kun \(x=\pi^2\), niin \(t=\sqrt{\pi^2}=\pi\). Näin ollen \[ \int_0^{\pi^2}\sin \sqrt{x}\, dx =\int_0^{\pi}2t\sin t\, dt =2\int_0^{\pi}t\sin t\, dt = 2\pi. \] (Viimeinen integraali laskettiin aikaisemmin osittaisintegroimalla.)

Myös integraalifunktio voidaan usein laskea sijoitusmenetelmän avulla, jolloin sijoituksen ja integroinnin jälkeen palataan takaisin alkuperäiseen muuttujaan \(x\), toisin kuin määrätyn integraalin kohdalla.

Menetelmän idea tulee parhaiten esille konkreettisessa esimerkissä.

Esimerkki 3.

Määritä integraalifunktio \[ \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}. \]

Sijoitetaan \(x=t^2\), \(t > 0\), eli \(t=\sqrt{x}\), jolloin saadaan \[ \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = \int \frac{2t}{t(1+t^2)}\, dt =2\arctan t + C =2\arctan \sqrt{x} + C. \]

Kaikki rationaalifunktiot \(R(x)=P(x)/Q(x)\) voidaan integroida osamurtohajotelmien avulla.

Ensimmäinen vaihe: Jakokulmassa jakamalla (tai muuten) palautetaan tilanne siihen, että \(\deg P(x)< \deg Q(x)\).

Esimerkki 4.

\begin{eqnarray} \frac{x}{x+1} &=& \frac{(x+1)-1}{x+1}= \frac{x+1}{x+1}- \frac{1}{x+1} =1-\frac{1}{x+1} \nonumber \\ \frac{x^2}{x^2-1} &=& \frac{(x^2-1)+1}{x^2-1}= \frac{x^2-1}{x^2-1}+ \frac{1}{x^2-1} =1+ \frac{1}{x^2-1} \nonumber \\ \frac{x^3}{x^2-1} &=& \frac{x^3-x}{x^2-1}+ \frac{x}{x^2-1} =\frac{x(x^2-1)}{x^2-1}+ \frac{x}{x^2-1} =x+ \frac{x}{x^2-1} \nonumber \end{eqnarray}

Osamurtohajotelmaa voidaan käyttää integroinnissa seuraavalla tavalla.

Esimerkki 5.

\[ \displaystyle{\int\frac{x}{x+1}\, dx = \int\left( 1-\frac{1}{x+1}\right) \, dx = x-\ln|x+1|+ C}. \]

Toinen vaihe: Jaetaan nimittäjässä oleva polynomi \(Q(x)\) joko 1. tai 2. asteen reaalisiin tekijöihin.

Suurimmassa osassa käytännön sovelluksia tarvitaan vain helpointa tulosta \[ \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)} =\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}, \] kun kertoimet \(A,\ B\) valitaan sopivalla tavalla.

Esimerkki 6.

Muodosta lausekkeen \(\displaystyle{ \frac{2x+3}{(x-4)(x+5)} }\) osamurtohajotelma.

Hajotelma on muotoa \[ \frac{2x+3}{(x-4)(x+5)} =\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+5}. \] Kerrotaan yhtälö puolittain lausekkeella \((x-4)(x+5)\), jolloin saadaan \[ 2x+3 = A(x+5)+B(x-4). \] Kertoimet \(A\) ja \(B\) saadaan tästä kahdella eri tavalla, jotka esittelemme seuraavaksi.

1. tapa on usein nopeampi, mutta 2. tapa myös todistaa, että hajotelma on oikein. Jos hajotelman lähtökohta on puutteellinen, niin 1. tapa tuottaa väärän vastauksen, joka paljastuu 2. tavalla laskettaessa.

\[ \text{Yhtälö: }\ 2x+3 = A(x+5)+B(x-4). \]

Tapa 1: Sijoittamalla \(x=4\) saadaan \(8+3=A\cdot 9 +B\cdot 0\), joten \(A=11/9\). Sijoittamalla \(x=-5\) saadaan \(-10+3=A\cdot 0+B\cdot (-9)\), joten \(B=7/9\).

Tapa 2: Kirjoitetaan yhtälö muodossa \(2x+3 = (A+B)x+(5A-4B)\) ja verrataan \(x\):n kertoimia ja vakioita yhtälön eri puolilla. Näin saadaan yhtälöpari \(A+B=2\) ja \(5A-4B=3\), josta saadaan \(A=11/9\) ja \(B=7/9\).

Huom: Polynomit ovat samat vain silloin, kun niillä on samat kertoimet. Huomaa, että tarkoituksena on valita kertoimet \(A,B\) niin, että yhtälö toteutuu kaikilla \(x\).

Esimerkki 7.

Muodosta lausekkeen \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2(x+3)} }\) osamurtohajotelma.

Laskemalla (luotettavalla) tavalla 2 huomataan, että muotoa \[ \frac{1}{x^2(x+3)} =\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x^2} \] oleva hajotelma ei toimi. Oikea hajotelma onkin muotoa \[ \frac{1}{x^2(x+3)} =\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x^2} +\frac{C}{x}. \] Kertomalla lausekkeella \(x^2(x+3)\) saadaan yhtälö \[ 1= Ax^2 +B(x+3)+Cx(x+3) = (A+C)x^2+(B+3C)x+3B. \] Kertoimia vertaamalla saadaan yhtälöt \(A+C=0\), \(B+3C=0\) ja \(3B=1\), joista ratkeaa helposti \(B=1/3\), \(C=-1/9\) ja \(A=1/9\).