MS-A0108 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, 26.02.2019-09.04.2019

Jos differentiaaliyhtälö on muotoa

\( a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = r(x),\)

niin yhtälöä kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi. Yhtälön vasen puoli on derivaattojen lineaarikombinaatio, kertoimina muuttujan \(x\) funktiot \( a_k(x) \). Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY on siis muotoa

\( a_1(x)y' + a_0(x)y = r(x). \)

Jos \( r(x) = 0 \) kaikilla muuttujan \(x\) arvoilla, yhtälö on homogeeninen. Muussa tapauksessa yhtälö on epähomogeeninen.

Lause 1.

Tarkastellaan normaalimuotoista alkuarvo-ongelmaa 

\( \left\{\begin{align}y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = r(x) \\ y(x_0) = y_0, \: y'(x_0) = y_1, \: \ldots, \: y^{n-1}(x_0) = y_{n-1}. \end{align} \right. \) 

Jos funktiot \( a_k\) ja \( r\) ovat jatkuvia välillä \( (a,b)\), johon alkuarvokohta \(x_0\) kuuluu, niin alkuarvo-ongelmalla on yksikäsitteinen ratkaisu.

Ehto yhtälön normaalimuotoisuudesta on oleellinen. Esimerkiksi yhtälöllä \(x^2y'' - 4xy' + 6y = 0 \) voi alkuehdosta riippuen olla joko nolla tai äärettömän monta ratkaisua.

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY voidaan ratkaista ns. integroivan tekijän menettelyllä. Menetelmän ideana on kertoa yhtälö \(y' + a(x)y = r(x) \) puolittain integroivalla tekijällä \(\displaystyle e^{A(x)} \), jossa \( A'(x)=a(x)\). Tällöin yhtälö saadaan muotoon

 \(\displaystyle y'e^{A(x)} + a(x)ye^{A(x)} = r(x)e^{A(x)} \Leftrightarrow \frac{d}{dx}(ye^{A(x)}) = r(x)e^{A(x)}. \)

Nyt integroidaan yhtälö puolittain ja saadaan

\(\displaystyle ye^{A(x)} = \int r(x)e^{A(x)}dx + C \Leftrightarrow y= Ce^{-A(x)} + e^{-A(x)}\int r(x) e^{A(x)} dx. \)

Tätä ratkaisukaavaa ei ole mielekästä opetella ulkoa, mutta menetelmä kannattaa painaa mieleen.

Esimerkki 1.

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö \(\displaystyle y'-y = e^x+1.\) Integroiva tekijä on \(\displaystyle e^{\int (-1) dx} = e^{-x},\) joten kerrotaan yhtälö puolittain sillä:

\(\displaystyle e^{-x}y'-e^{-x}y = 1+e^{-x}\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}(ye^{-x}) = 1+e^{-x}\)

\(\displaystyle ye^{-x} = \int 1+e^{-x} dx + C = x - e^{-x} + C\)

\(\displaystyle y= y(x)=e^xx - 1 + Ce^x.\)

Esimerkki 2.

Ratkaistaan alkuarvo-ongelma

\( \left\{\begin{align}xy' = x^2 + 3y \\ y(0) = 1 \end{align} \right. \)

Saatetaan ongelma ensin normaalimuotoon:

\( \displaystyle y' - \frac{3}{x}y = x. \)

Nyt integroiva tekijä on \(\displaystyle e^{ \int \frac{3}{x} \, dx } =\displaystyle e^{ -3 \ln \vert x \vert } =\displaystyle e^{ \ln x^{-3} } =\displaystyle \frac{1}{x^3},\> x>0. \) Päästään siis muotoon

\(\displaystyle \frac{y'}{x^3} - \frac{3}{x^4}y = \frac{1}{x^2} \)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}(\frac{y}{x^3}) = \frac{1}{x^2} \)

\(\displaystyle \frac{y}{x^3} = \int \frac{1}{x^2}dx + C = - \frac{1}{x} + C\)

\(y = Cx^3 - x^2 \)

On löydetty yleinen ratkaisu. Koska  \(y(0) = C\cdot 0 - 0 = 0,\) eli funktion arvo ei vastaa annettua alkuarvoa, ei ongelmalla näin ollen ole ratkaisua.

Esimerkki 3.

Ratkaistaan DY \(xy'-2y=2\) alkuehdolla

1. \(y(1)=0\)
2. \(y(0)=0\).

Muodosta \(y'-(2/x)y=2/x\) nähdään, että kyseessä on lineaarinen DY. Sen integroiva tekijä on

Tällä kertomalla päästään muotoon

joten \(y(x)=x^2 (-1/x^2+C)=Cx^2-1\) on DY:n yleinen ratkaisu. Alkuehdosta \(y(1)=0\) saadaan \(C=1\), mutta alkuehdosta \(y(0)=0\) seuraa ristiriita \(-1=0\). Ratkaisu on siis a-kohdassa \(y(x)=x^2-1\), mutta b-kohdan alkuehdon toteuttavaa ratkaisua ei ole.

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on separoituva, jos se voidaan esittää muodossa \( y' = f(x)g(y), \) missä \(f\) ja \(g\) ovat tarkasteluvälillä määriteltyjä integroituvia funktioita. Integroimalla yhtälö puolittain saadaan

\(\displaystyle \int \frac{y'}{g(y)}\, dy = \int f(x) dx + C\)

\( \displaystyle \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \, dx + C,\)

missä jälkimmäiseen yhtälöön päästiin muistamalla että \(dy = y'(x)\, dx. \) Separoituvissa yhtälöissä on myös kätevää merkitä derivaattaa \(y' = \frac{dy}{dx}, \) jolloin yhtälö saadaan muotoon \( \displaystyle f(y)\frac{dy}{dx} = g(x).\) Nyt derivaattaa \( \displaystyle \frac{dy}{dx}\) voidaan periaatteessa käsitellä kuin mitä tahansa osamäärää. Kertomalla yhtälön molemmat puolet termillä \(dx\) saadaan \( \displaystyle f(y)\, dy = g(x)\, dx\), joka voidaan edelleen integroida puolittain. Tämä menettely antaa differentiaaliyhtälön ratkaisun implisiittisessä muodossa, josta \(y\) voidaan sitten mahdollisesti ratkaista eksplisiittisesti.

Esimerkki 4.

Ratkaistaan muuttujien separoinnilla differentiaaliyhtälö \(\displaystyle y'+\frac{2}{5}y = 0. \) (Yhtälön voisi ratkaista myös integroivan tekijän menettelyllä.)

 \(\displaystyle y'+\frac{2}{5}y = 0 \)

 \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{5}y \)  

 \(\displaystyle \int \frac{1}{y}dy = -\frac{2}{5} \int dx \)  

\(\displaystyle \ln |y| = -\frac{2}{5}x + C_1 \)

\( \displaystyle y =\pm e^{-\frac{2}{5}x+C_1} = \pm e^{-\frac{2}{5}x}e^{C_1} = Ce^{-\frac{2}{5}x}, \: C>0. \)

Viimeisessä sievennyksessä merkitsimme mukavuussyistä  \(C = \pm e^{C_1}, \: C\in \mathbf{R} \).

Huom: Erikoisratkaisu \( y(x)\equiv 0\) osoittaa, että myös \( C=0\) käy.

Esimerkki 5.

Ratkaistaan alkuarvo-ongelma

\( \left\{\begin{align}y' = \frac{x}{y} \\ y(0) = 1 \end{align} \right. \)

Koska yleistä ratkaisua ei vaadita, voidaan oikaista hieman käyttämällä määrättyjä integraaleja seuraavasti:

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \)

\(\displaystyle \int_1^y y \, dy =\int_0^x x\, dx \)

\(\displaystyle \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2} =\frac{1}{2}x^2 \)

Separoimalla lasketusta yleisestä ratkaisusta jää yleensä pois sellaisia ratkaisuja, jotka liittyvät funktion \(g(y)\) nollakohtiin. Syynä on se, että separointimenetelmässä lausekkeella \(g(y(x))\) jakaminen edellyttää, että \(g(y(x)) \neq 0\). Havaitaan, että jokaista funktion \(g\) nollakohtaa \(\alpha\) vastaa DY:n \(y'=f(x)g(y)\) vakioratkaisu \(y(x)\equiv \alpha\), koska tällöin \(y'(x)\equiv 0=g(\alpha)\equiv g(y(x))\). Näitä ratkaisuja kutsutaan yhtälön triviaali- tai erikoisratkaisuiksi (erotuksena yleisestä ratkaisusta).

Mikäli seuraavan lauseen ehdot ovat voimassa, niin separoituvan differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut saadaan joko yleisestä ratkaisusta tai erikoisratkaisuista.

Lause 2.

Tarkastellaan alkuarvotehtävää \(y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0\).

1. Jos \(f\) on jatkuva (kahden muuttujan funktio), niin ainakin yksi alkuehdon toteuttava ratkaisu on olemassa jollakin pisteen \(x_0\) sisältävällä välillä.
2. Jos lisäksi \(f\) on jatkuvasti derivoituva muuttujan \(y\) suhteen, niin alkuehdon toteuttava ratkaisu on yksikäsitteinen.
3. Yksikäsitteisyys on voimassa myös silloin, kun kohdan (i) lisäksi \(f\) on jatkuvasti derivoituva muuttujan \(x\) suhteen ja \(f(x_0,y_0)\neq 0\).

Lauseen todistus perustuu ns. Picard-Lindelöf-iterointiin, jonka muotoiluun osallistui suomalainen matemaatikko Ernst Lindelöf (1870-1946).

Separoituville yhtälöille saadaan edellisen lauseen avulla johdettua seuraava tulos.

Lause 3.

Tarkastellaan separoituvaa differentiaaliyhtälöä \(y'=f(x)g(y)\), missä \(f\) on jatkuva ja \(g\) jatkuvasti derivoituva.

1. Jokaista funktion \(g\) nollakohtaa \(\alpha\) vastaa triviaaliratkaisu \(y(x)\equiv \alpha =\) vakio.
2. Yhtälön kaikki muut ratkaisut (= yleinen ratkaisu) saadaan yllä esitetyllä tavalla separoimalla muuttujat ja integroimalla.

Yhtälön määrittelyalueen jokaisen pisteen \((x_0,y_0)\) kautta kulkee yksikäsitteinen ratkaisukäyrä. Erityisesti, ratkaisukäyrät eivät voi leikata toisiaan eikä yksittäinen ratkaisukäyrä voi haarautua kahteen tai useampaan osaan.

∴ Separoituvan DY:n muut ratkaisukäyrät eivät siis voi leikata triviaaliratkaisukäyriä \(y=\alpha\), joten kaikille muille ratkaisuille ehto \(g(y(x))\neq 0\) on automaattisesti voimassa!

Esimerkki 6.

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö \(y'+a(x)y=0\) separointimenetelmän avulla.

Yhtälöllä on triviaaliratkaisu \(y_0(x)\equiv 0\). Muut ratkaisut eivät saa arvoa 0, joten niille pätee:

\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= y'= -a(x)y \\ &\Leftrightarrow \int\frac{dy}{y} = -\int a(x)\, dx +C_1 \\ &\Leftrightarrow \ln|y| = -A(x)+C_1 \\ &\Leftrightarrow |y| =e^{C_1-A(x)} \\ &\Leftrightarrow y=y(x)=\pm e^{C_1} e^{-A(x)} =Ce^{-A(x)}.\end{aligned}\]

Tässä lauseke \(\pm e^{C_1}\) on korvattu yksinkertaisemmalla vakiolla \(C\in\mathbf{R}\).

Käytännössä differentiaaliyhtälöiden analyyttinen ratkaiseminen ei yleensä ole mahdollista. Tällöin on turvauduttava numeerisiin menetelmiin. Eräs tällainen menetelmä on Eulerin menetelmä. Eulerin menetelmän idea on suuntakentästä tuttu havainto siitä, että ratkaisun tangentteja voidaan laskea, vaikkei itse ratkaisua tiedettäisikään. Ongelmana on siis ratkaista alkuarvo-ongelma

\( \left\{\begin{align}y' = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{align} \right. \)

Eulerin menetelmällä tämä ratkaistaan valitsemalla askelpituus \( h\) ja käyttämällä iteraatiokaavaa

\( \displaystyle y_{k+1} = y_k +  hf(x_k, y_k). \)

Iteraatio aloitetaan indeksistä \( \displaystyle k=0 \) sijoittamalla iteraatiokaavan oikealle puolelle annettu alkuarvo. Koska \(f(x_k, y_k) = y'(x_k) \) on ratkaisun tangentin kulmakerroin pisteessä \(x_k \), Eulerin menetelmässä edetään aina askelpituuden verran ratkaisukäyrän tangentin suuntaan. Tästä aiheutuu virhe, joka on sitä suurempi, mitä pidempi askelpituus valitaan.

Esimerkki 9.

Tarkastellaan alkuarvo-ongelman 

\( \left\{\begin{align}y' = y \\ y(0) =1 \end{align} \right. \)

ratkaisua Eulerin menetelmällä ja verrataan sitä tarkkaan ratkaisuun \( \displaystyle g(x) = e^x. \)