MS-A0108 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, 26.02.2019-09.04.2019
This course space end date is set to 09.04.2019 Search Courses: MS-A0108
Opiskelun tueksi: Kirjallinen materiaali
3. Differentiaaliyhtälö
3.2. 2. ja korkeampien kertalukujen DY:t
Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöille ei usein löydy analyyttistä ratkaisua, mutta tässä käydään läpi joitain erikoistapauksia, joissa analyyttinen ratkaisu on olemassa. Useimmat tällaiset erikoistapaukset ovat lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Keskitymme toisen kertaluvun yhtälöihin, sillä ne tulevat sovelluksissa useimmin vastaan ja niille analyyttinen ratkaisu löytyy todennäköisemmin kuin kolmannen tai sitä korkeamman kertaluvun yhtälöille.
Homogeenisen DY:n ratkaiseminen
Toisen kertaluvun yhtälöiden tapauksessa ei ole helppoa tapaa johtaa lineaariselle yhtälölle yleistä ratkaisua. Aloitetaan siis tarkastelemalla homogeenista yhtälöä
\( y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0,\)
missä \(p\) ja \(q\) ovat määrittelyvälillä jatkuvia funktioita. Tällöin pätee:
1) Yhtälöllä on lineaarisesti riippumattomat (olennaisesti erilaiset, eli niiden suhde ei ole vakio) ratkaisut \(y_1\) ja \(y_2\), joita kutsutaan perusratkaisuiksi.
2) Yhtälön yleinen ratkaisu saadaan minkä tahansa lineaarisesti riippumattoman ratkaisuparin avulla muodossa \(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \), missä \( C_1\) ja \( C_2\) ovat vakioita.
3) Jos määrätään alkuarvot \(y(x_0) = a, y'(x_0) = b\), niin ratkaisu on yksikäsitteinen.
Yleistä menettelyä ratkaisujen \(y_1(x)\) ja \(y_2(x)\) etsimiseen ei ole. Ratkaisujen löytämiseksi pyritään tyypillisesti arvaamaan niiden muoto ja käyttämällä tämän perusteella valittua yritettä.
Yllä olevat tulokset yleistyvät myös korkeamman kertaluvun homogeenisiin yhtälöihin. Tällöin vaadittavien perusratkaisujen ja alkuehtojen määrä kasvaa yhtälön kertaluvun mukaisesti.
Esimerkki 1.
Yhtälöllä \( y’’-y= 0\) on ainakin ratkaisut \( y = e^x\) ja \( y = e^{-x}.\) Nämä ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia, joten yleinen ratkaisu on muotoa \( y(x) = C_1e^x + C_2e^{-x}.\)
Vakiokertoimiset yhtälöt
Tarkastellaan helpohkona erikoistapauksena 2. kertaluvun vakiokertoimista yhtälöä
\( y’’ + py’ + qy = 0.\)
Yhtälö ratkaistaan yritteellä \( y = e^{\lambda x}.\) Sijoitetaan yrite yhtälöön:
\( \lambda^2 e^{\lambda x} + p\lambda e^{\lambda x} + qe^{\lambda x} = 0.\)
\( \lambda^2 + p\lambda + q = 0.\)
Viimeistä yhtälöä kutsutaan DY:n karakteristiseksi yhtälöksi ja sen ratkaisujen avulla voidaan päätellä varsinaisen DY:n ratkaisut. Karakteristisen yhtälön ratkaisut voidaan jakaa kolmeen tapaukseen:
1) Karakteristisella yhtälöllä on kaksi eri suurta reaalijuurta. Tällöin DY:llä on ratkaisut \(y_1 = e^{\lambda_1x} \) ja \(y_2 = e^{\lambda_2x}. \)
2) Karakteristisella yhtälöllä on kaksoisjuuri. Tällöin DY:llä on ratkaisut \(y_1 = e^{\lambda x} \) ja \(y_2 = xe^{\lambda x}. \)
3) Karakteristisen yhtälön juuret ovat muotoa \(\lambda = a \pm bi.\) Tällöin DY:llä on ratkaisut \(y_1 = e^{ax}\cos(bx) \) ja \(y_2 = e^{ax}\sin(bx). \)
Nämä tulokset yleistyvät pienin muutoksin myös korkeamman kertaluvun yhtälöille.
Esimerkki 2.
Ratkaistaan reuna-arvotehtävä
\( \left\{\begin{align}y'' -y' +2y=0 \\ y(0) = 1, y(1)=0 \end{align} \right. \)
Karakteristinen yhtälö on \(r^2-r -2 = 0,\) jonka juuret ovat \( r_1 = 2\) ja \( r_2 = -1,\) joten yleinen ratkaisu on \( y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-x}.\) Vakiot saadaan ratkaistua reunaehdoista:
\( \left\{\begin{align}C_1 + C_2=1 \\ e^2C_1 + e^{-1}C_2 = 0 \end{align} \right. \)
\( \left\{\begin{align}C_1 = -\frac{1}{e^3-1} \\ C_2 = \frac{e^3}{e^3-1} \end{align} \right. \)
Vastaukseksi saatiin siis \( y(x) = \frac{1}{e^3-1} (-e^{2x} + e^{3-x}).\)
Esimerkki 3.
Katsotaan miten yllä esitellyt tulokset pätevät korkeamman asteen yhtälöissä ratkaisemalla
\( y^{(4)} - 4y''' +14y'' -20y' +25y = 0.\)
Karakteristinen yhtälö on nyt \( r^4 - 4r^3 +14r^2 -20r +25 = 0,\) millä on kaksinkertainen ratkaisu \( r_1 = r_2 = 1 + 2i\) ja \( r_3 = r_4 = 1 - 2i.\) Tällöin DY:n perusratkaisut ovat \(e^x\sin(2x)\), \(e^x\cos(2x)\), \(xe^x\sin(2x)\) ja \(xe^x\cos(2x)\). Yleinen ratkaisu on siis
\( y = C_1e^x\sin(2x) + C_2e^x\cos(2x) + C_3xe^x\sin(2x) + C_4xe^x\cos(2x).\)
Toisen kertaluvun yhtälöiden tapauksessa ei ole helppoa tapaa johtaa lineaariselle yhtälölle yleistä ratkaisua. Aloitetaan siis tarkastelemalla homogeenista yhtälöä
\( y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0,\)
missä \(p\) ja \(q\) ovat määrittelyvälillä jatkuvia funktioita. Tällöin pätee:
1) Yhtälöllä on lineaarisesti riippumattomat (olennaisesti erilaiset, eli niiden suhde ei ole vakio) ratkaisut \(y_1\) ja \(y_2\), joita kutsutaan perusratkaisuiksi.
2) Yhtälön yleinen ratkaisu saadaan minkä tahansa lineaarisesti riippumattoman ratkaisuparin avulla muodossa \(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \), missä \( C_1\) ja \( C_2\) ovat vakioita.
3) Jos määrätään alkuarvot \(y(x_0) = a, y'(x_0) = b\), niin ratkaisu on yksikäsitteinen.
Yleistä menettelyä ratkaisujen \(y_1(x)\) ja \(y_2(x)\) etsimiseen ei ole. Ratkaisujen löytämiseksi pyritään tyypillisesti arvaamaan niiden muoto ja käyttämällä tämän perusteella valittua yritettä.
Yllä olevat tulokset yleistyvät myös korkeamman kertaluvun homogeenisiin yhtälöihin. Tällöin vaadittavien perusratkaisujen ja alkuehtojen määrä kasvaa yhtälön kertaluvun mukaisesti.
Esimerkki 1.
Yhtälöllä \( y’’-y= 0\) on ainakin ratkaisut \( y = e^x\) ja \( y = e^{-x}.\) Nämä ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia, joten yleinen ratkaisu on muotoa \( y(x) = C_1e^x + C_2e^{-x}.\)
Vakiokertoimiset yhtälöt
Tarkastellaan helpohkona erikoistapauksena 2. kertaluvun vakiokertoimista yhtälöä
\( y’’ + py’ + qy = 0.\)
Yhtälö ratkaistaan yritteellä \( y = e^{\lambda x}.\) Sijoitetaan yrite yhtälöön:
\( \lambda^2 e^{\lambda x} + p\lambda e^{\lambda x} + qe^{\lambda x} = 0.\)
\( \lambda^2 + p\lambda + q = 0.\)
Viimeistä yhtälöä kutsutaan DY:n karakteristiseksi yhtälöksi ja sen ratkaisujen avulla voidaan päätellä varsinaisen DY:n ratkaisut. Karakteristisen yhtälön ratkaisut voidaan jakaa kolmeen tapaukseen:
1) Karakteristisella yhtälöllä on kaksi eri suurta reaalijuurta. Tällöin DY:llä on ratkaisut \(y_1 = e^{\lambda_1x} \) ja \(y_2 = e^{\lambda_2x}. \)
2) Karakteristisella yhtälöllä on kaksoisjuuri. Tällöin DY:llä on ratkaisut \(y_1 = e^{\lambda x} \) ja \(y_2 = xe^{\lambda x}. \)
3) Karakteristisen yhtälön juuret ovat muotoa \(\lambda = a \pm bi.\) Tällöin DY:llä on ratkaisut \(y_1 = e^{ax}\cos(bx) \) ja \(y_2 = e^{ax}\sin(bx). \)
Nämä tulokset yleistyvät pienin muutoksin myös korkeamman kertaluvun yhtälöille.
Esimerkki 2.
Ratkaistaan reuna-arvotehtävä
\( \left\{\begin{align}y'' -y' +2y=0 \\ y(0) = 1, y(1)=0 \end{align} \right. \)
Karakteristinen yhtälö on \(r^2-r -2 = 0,\) jonka juuret ovat \( r_1 = 2\) ja \( r_2 = -1,\) joten yleinen ratkaisu on \( y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-x}.\) Vakiot saadaan ratkaistua reunaehdoista:
\( \left\{\begin{align}C_1 + C_2=1 \\ e^2C_1 + e^{-1}C_2 = 0 \end{align} \right. \)
\( \left\{\begin{align}C_1 = -\frac{1}{e^3-1} \\ C_2 = \frac{e^3}{e^3-1} \end{align} \right. \)
Vastaukseksi saatiin siis \( y(x) = \frac{1}{e^3-1} (-e^{2x} + e^{3-x}).\)
Esimerkki 3.
Katsotaan miten yllä esitellyt tulokset pätevät korkeamman asteen yhtälöissä ratkaisemalla
\( y^{(4)} - 4y''' +14y'' -20y' +25y = 0.\)
Karakteristinen yhtälö on nyt \( r^4 - 4r^3 +14r^2 -20r +25 = 0,\) millä on kaksinkertainen ratkaisu \( r_1 = r_2 = 1 + 2i\) ja \( r_3 = r_4 = 1 - 2i.\) Tällöin DY:n perusratkaisut ovat \(e^x\sin(2x)\), \(e^x\cos(2x)\), \(xe^x\sin(2x)\) ja \(xe^x\cos(2x)\). Yleinen ratkaisu on siis
\( y = C_1e^x\sin(2x) + C_2e^x\cos(2x) + C_3xe^x\sin(2x) + C_4xe^x\cos(2x).\)
Eulerin differentiaaliyhtälö
Toinen toisinaan vastaantuleva 2. kertaluvun yhtälötyyppi on Eulerin differentiaaliyhtälö
\( x^2y'' + axy' + by = 0,\)
jossa \(a\) ja \(b\) ovat vakioita. Tällainen yhtälö ratkaistaan käyttämällä yritettä \(y= x^r\). Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan
\( r^2 + (a-1)r + b = 0.\)
Tämän yhtälön juurten avulla saadaan pääteltyä DY:n ratkaisut seuraavasti:
1) Jos juuret ovat erisuuret ja reaaliset, niin \( y_1= |x|^{r_1}\) ja \( y_2= |x|^{r_2}\).
2) Jos yhtälöllä on kaksoisjuuri, niin \( y_1= |x|^{r}\) ja \( y_2= |x|^{r}\ln |x|\).
3) Jos yhtälön juuret ovat \(r = a \pm bi\), niin \( y_1= |x|^{a}\cos(b\ln |x|)\) ja \( y_2= |x|^{a}\sin(b\ln |x|)\).
Esimerkki 4.
Ratkaistaan yhtälö \( x^2y'' - 3xy' + y = 0.\) Kyseessä on Eulerin differentiaaliyhtälö, joten etenemme käyttämällä yritettä \(y= x^r.\) Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan \( r(r-1)x^r - 3rx^r + x^r = 0 \Rightarrow r^2 - 4r + 1 = 0,\) josta ratkaisemalla \( r = 2 \pm \sqrt{3}.\) Näin ollen DY:n ratkaisu on
\(y = C_1 x^{2+\sqrt{3}} + C_2x^{2-\sqrt{3}}\).
Toinen toisinaan vastaantuleva 2. kertaluvun yhtälötyyppi on Eulerin differentiaaliyhtälö
\( x^2y'' + axy' + by = 0,\)
jossa \(a\) ja \(b\) ovat vakioita. Tällainen yhtälö ratkaistaan käyttämällä yritettä \(y= x^r\). Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan
\( r^2 + (a-1)r + b = 0.\)
Tämän yhtälön juurten avulla saadaan pääteltyä DY:n ratkaisut seuraavasti:
1) Jos juuret ovat erisuuret ja reaaliset, niin \( y_1= |x|^{r_1}\) ja \( y_2= |x|^{r_2}\).
2) Jos yhtälöllä on kaksoisjuuri, niin \( y_1= |x|^{r}\) ja \( y_2= |x|^{r}\ln |x|\).
3) Jos yhtälön juuret ovat \(r = a \pm bi\), niin \( y_1= |x|^{a}\cos(b\ln |x|)\) ja \( y_2= |x|^{a}\sin(b\ln |x|)\).
Esimerkki 4.
Ratkaistaan yhtälö \( x^2y'' - 3xy' + y = 0.\) Kyseessä on Eulerin differentiaaliyhtälö, joten etenemme käyttämällä yritettä \(y= x^r.\) Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan \( r(r-1)x^r - 3rx^r + x^r = 0 \Rightarrow r^2 - 4r + 1 = 0,\) josta ratkaisemalla \( r = 2 \pm \sqrt{3}.\) Näin ollen DY:n ratkaisu on
\(y = C_1 x^{2+\sqrt{3}} + C_2x^{2-\sqrt{3}}\).
Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt
Epähomogeenisen yhtälön
\(y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)\)
yleinen ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu \(+\) epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu, eli
\(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + y_0(x)\).
Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu \(y_0\) löydetään tyypillisesti yritteellä, joka on samaa muotoa kuin \(r(x)\).
Oheiseen taulukkoon on koottu lista mahdollisista yritteistä vakiokertoimisille toisen kertaluvun yhtälöille. Yritteen muoto riippuu siitä, millaisia alkeisfunktioita funktiossa \(r(x)\) esiintyy. Jos \(r(x)\) koostuu useista erityyppisistä alkeisfunktioista, niin yritteeseen täytyy ottaa mukaan kaikkia eri osia vastaavat termit. Vastaavan homogeenisen differentiaaliyhtälön
karakteristinen polynomi on siis \(P(\lambda)=\lambda^2+p\lambda+q\).
\(r(x)\) sisältää
yritteeseen tulee mukaan
\(n\)-asteisen polynomin
\(A_0+A_1x+\dots +A_nx^n\) ( \(+A_{n+1}x^{n+1}\), jos \(q=P(0)=0\))
\(\sin kx,\ \cos kx\)
\(A\cos kx+B\sin kx\), jos \(P(ik)\neq 0\)
\(\sin kx,\ \cos kx\)
\(Ax\cos kx+Bx\sin kx\), jos \(P(ik)=0\)
\(e^{cx}\sin kx,\ e^{cx}\cos kx\)
\(Ae^{cx}\cos kx+Be^{cx}\sin kx\), jos
\(P(c+ik)\neq 0\)
\(e^{kx}\)
\(Ae^{kx}\), jos \(P(k)\neq 0\)
\(e^{kx}\)
\(Axe^{kx}\), jos \(P(k)=0\) ja \(P'(k)\neq 0\)
\(e^{kx}\)
\(Ax^2e^{kx}\), jos \(P(k)=P'(k)=0\)
Huom: Toisen asteen polynomin nollakohdista täytyy muistaa:
\(P(k)=0\) ja \(P'(k)\neq 0\) \(\Leftrightarrow\) luku \(k\) on \(P\):n
yksinkertainen nollakohta.
\(P(k)=P'(k)= 0\) \(\Leftrightarrow\) luku \(k\) on \(P\):n
kaksinkertainen nollakohta.
\(P(ik)\neq 0\) \(\Leftrightarrow\) kompleksiluku \(ik\) ei ole polynomin \(P\)
nollakohta; ts. \(\sin kx\) ja \(\cos kx\) eivät ole homogeenisen yhtälön
ratkaisuja.
Esimerkki 5.
Määritetään DY:n \(y''+y'-6y=r(x)\) yleinen ratkaisu, kun
a) \(r(x)=12e^{-x}\)
b) \(r(x)=20e^{2x}\).
Ratkaisut ovat muotoa \(y(x)=C_1e^{-3x}+C_2e^{2x}+y_0(x)\).
a) Sijoittamalla yrite \(y_0(x)=Ae^{-x}\) saadaan
\((A -A -6A)e^{-x} =12e^{-x}\),
joka toteutuu arvolla \(A=-2\).
b) Tässä tapauksessa muotoa \(Be^{2x}\) oleva yrite ei toimi,
sillä se on osa vastaavan homogeeniyhtälön yleistä ratkaisua ja tuottaa pelkää
nollaa DY:n vasemmalle puolelle sijoitettuna. Oikea yrite on b-kohdassa
muotoa \(y_0(x)=Bxe^{2x}\). Sijoitus johtaa yhtälöön
\[
(4B+2B-6B)xe^{2x}+(4B+B)e^{2x} = 20e^{2x},
\]
joka toteutuu arvolla \(B=4\).
Näiden avulla voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälöiden yleiset ratkaisut.
Esimerkki 6.
Määritetään DY:n \(y''+y'-6y=12e^{-x}\) ratkaisu alkuehdoilla
\(y(0)=0\), \(y'(0)=6\).
Edellisen esimerkin perusteella yleinen ratkaisu on muotoa
\(y(x)=C_1e^{-3x}+C_2e^{2x}-2e^{-x}\), jolloin
\(y'(x)=-3C_1e^{-3x}+2C_2e^{2x}+2e^{-x}\). Alkuehdoista saadaan yhtälöpari
\[
\begin{cases}
0=y(0)=C_1+C_2-2 &\\
6=y'(0)=-3C_1+2C_2+2, &\\
\end{cases}
\]
josta \(C_1=0\), \(C_2=2\). Alkuarvotehtävän ratkaisu on
\(y(x)=2e^{2x}-2e^{-x}\).
Epähomogeenisen yhtälön
\(y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)\)
yleinen ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu \(+\) epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu, eli
\(y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + y_0(x)\).
Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu \(y_0\) löydetään tyypillisesti yritteellä, joka on samaa muotoa kuin \(r(x)\).
Oheiseen taulukkoon on koottu lista mahdollisista yritteistä vakiokertoimisille toisen kertaluvun yhtälöille. Yritteen muoto riippuu siitä, millaisia alkeisfunktioita funktiossa \(r(x)\) esiintyy. Jos \(r(x)\) koostuu useista erityyppisistä alkeisfunktioista, niin yritteeseen täytyy ottaa mukaan kaikkia eri osia vastaavat termit. Vastaavan homogeenisen differentiaaliyhtälön karakteristinen polynomi on siis \(P(\lambda)=\lambda^2+p\lambda+q\).
| \(r(x)\) sisältää |
yritteeseen tulee mukaan |
|---|---|
| \(n\)-asteisen polynomin |
\(A_0+A_1x+\dots +A_nx^n\) ( \(+A_{n+1}x^{n+1}\), jos \(q=P(0)=0\)) |
| \(\sin kx,\ \cos kx\) |
\(A\cos kx+B\sin kx\), jos \(P(ik)\neq 0\) |
| \(\sin kx,\ \cos kx\) | \(Ax\cos kx+Bx\sin kx\), jos \(P(ik)=0\) |
| \(e^{cx}\sin kx,\ e^{cx}\cos kx\) | \(Ae^{cx}\cos kx+Be^{cx}\sin kx\), jos \(P(c+ik)\neq 0\) |
| \(e^{kx}\) | \(Ae^{kx}\), jos \(P(k)\neq 0\) |
| \(e^{kx}\) | \(Axe^{kx}\), jos \(P(k)=0\) ja \(P'(k)\neq 0\) |
| \(e^{kx}\) | \(Ax^2e^{kx}\), jos \(P(k)=P'(k)=0\) |
Huom: Toisen asteen polynomin nollakohdista täytyy muistaa:
\(P(k)=0\) ja \(P'(k)\neq 0\) \(\Leftrightarrow\) luku \(k\) on \(P\):n yksinkertainen nollakohta.
\(P(k)=P'(k)= 0\) \(\Leftrightarrow\) luku \(k\) on \(P\):n kaksinkertainen nollakohta.
\(P(ik)\neq 0\) \(\Leftrightarrow\) kompleksiluku \(ik\) ei ole polynomin \(P\) nollakohta; ts. \(\sin kx\) ja \(\cos kx\) eivät ole homogeenisen yhtälön ratkaisuja.
Esimerkki 5.
Määritetään DY:n \(y''+y'-6y=r(x)\) yleinen ratkaisu, kun
a) \(r(x)=12e^{-x}\)
b) \(r(x)=20e^{2x}\).
Ratkaisut ovat muotoa \(y(x)=C_1e^{-3x}+C_2e^{2x}+y_0(x)\).
a) Sijoittamalla yrite \(y_0(x)=Ae^{-x}\) saadaan \((A -A -6A)e^{-x} =12e^{-x}\), joka toteutuu arvolla \(A=-2\).
b) Tässä tapauksessa muotoa \(Be^{2x}\) oleva yrite ei toimi, sillä se on osa vastaavan homogeeniyhtälön yleistä ratkaisua ja tuottaa pelkää nollaa DY:n vasemmalle puolelle sijoitettuna. Oikea yrite on b-kohdassa muotoa \(y_0(x)=Bxe^{2x}\). Sijoitus johtaa yhtälöön
\[ (4B+2B-6B)xe^{2x}+(4B+B)e^{2x} = 20e^{2x}, \]joka toteutuu arvolla \(B=4\).
Näiden avulla voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälöiden yleiset ratkaisut.
Esimerkki 6.
Määritetään DY:n \(y''+y'-6y=12e^{-x}\) ratkaisu alkuehdoilla \(y(0)=0\), \(y'(0)=6\).
Edellisen esimerkin perusteella yleinen ratkaisu on muotoa \(y(x)=C_1e^{-3x}+C_2e^{2x}-2e^{-x}\), jolloin \(y'(x)=-3C_1e^{-3x}+2C_2e^{2x}+2e^{-x}\). Alkuehdoista saadaan yhtälöpari
\[ \begin{cases} 0=y(0)=C_1+C_2-2 &\\ 6=y'(0)=-3C_1+2C_2+2, &\\ \end{cases} \]josta \(C_1=0\), \(C_2=2\). Alkuarvotehtävän ratkaisu on \(y(x)=2e^{2x}-2e^{-x}\).