MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024

Epäoleelliset integraalit

Tähän asti integrointi on tapahtunut rajoitetussa alueessa rajoitetulle funktiolle (integrandille). Joskus voidaan kuitenkin integroida rajoittamattomia funktioita ja/tai rajoittamattomassa alueessa.

Tarkastellaan ainoastaan tapausta, jossa funktio $f$ on ei-negatiivinen eli $f(\mathbf{u}) \ge 0$ kaikilla $\mathbf{u}\in D$. Lasketaan funktion $f(x,y) = e^{-x^2}$ integraali alueessa suorien $y=\pm x$ rajoittamassa rajoittamattomassa alueessa $D$, jossa $x>0$. Mikäli integraali on suppenee, sen arvo saadaan laskemalla $\iint_D e^{-x^2}\,dA = \int_0^\infty \int_{-x}^{x} e^{-x^2}\,dy\,dx = \int_0^\infty 2xe^{-x^2}\,dx$ $= \lim_{R\to \infty} \int_0^R 2xe^{-x^2}\,dx.$ Integraalin laskemiseksi huomataan, että $\frac{d}{dx} e^{-x^2} = -2xe^{-x^2}$. Siten $\lim_{R\to \infty} \int_0^R 2xe^{-x^2}\,dx = \lim_{R\to\infty} -e^{-x^2}\Big|_{x=0}^R = \lim_{R\to\infty}1-e^{-R^2}=1.$

Esimerkki

Olkoon $D_1=\lbrace (x,)\in \mathbb{R}^2 : 0 < x < 1, \, |y| \leq x^2 \rbrace$ ja rajoittamaton funktio $f(x,y)=1/x^2$.

(i) Lasketaan integraali $\iint_{D_1}\frac{1}{x^2}\,dA =\int_0^1\int_{-x^2}^{x^2}\frac{1}{x^2}\,dy\,dx$ $=\int_0^1 2\,dx =2.$

(ii) Lasketaan saman funktion integraali alueessa $D_2=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0 < x < 1,\, |y|\leq \sqrt{x}\rbrace.$ $\iint_{D_2}\frac{1}{x^2}\,dA =\int_0^1\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}\frac{1}{x^2}\,dy\,dx$ $=\int_0^1 2\sqrt{x}\frac{1}{x^2}\,dx =\int_0^1 2x^{-3/2}\,dx =\lim_{\epsilon\to 0+} \frac{2x^{-1/2}}{-1/2}\bigg|_{x=\epsilon}^1 = \infty.$ Suppeneminen riippuu integroitavan funktion lisäksi myös alueesta!