2. Sarjat

Suppeneminen

Suppeneminen

Jonosta \((a_k)\) voidaan muodostaa sen osasummia asettamalla \[s_n =a_1+a_2+\dots+a_n.\]

Jos osasumminen jonolla \((s_n)\) on raja-arvo \(s\in \mathbb{R}\), niin luvuista \((a_k)\) muodostettu sarja suppenee ja sen summa on \(s\). Tällöin merkitään \[ a_1+a_2+\dots =\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty}\underbrace{\sum_{k=1}^{n} a_k}_{=s_{n}} = s. \]

Indeksöinti

Osasummat kannattaa indeksöidä samalla tavalla kuin alkuperäinen jono \((a_k)\); esimerkiksi jonon \((a_k)_{k=0}^{\infty}\) osasummat ovat \(s_0= a_0, s_1=a_0+a_1\) jne.

Sarjaan voidaan tehdä indeksinsiirtoja ilman että varsinainen sarja muuttuu: \[\sum_{k=1}^{\infty} a_k =\sum_{k=0}^{\infty} a_{k+1} = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-1}.\]

Konkreettinen esimerkki: \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)^2}\]

Kokeile!

Laske sarjan \(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\) osasummia:

sarjan \(k.\) termi: , aloita summaus kohdasta

Sarjan hajaantuminen

Sarja, joka ei suppene, on hajaantuva. Tämä voi tapahtua kolmella eri tavalla:

  1. sarjan osasummat kasvavat rajatta kohti ääretöntä
  2. sarjan osasummat pienenevät rajatta kohti miinus ääretöntä
  3. osasummien jono heilahtelee niin, ettei sillä ole raja-arvoa.

Hajaantuvan sarjan kohdalla merkintä \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ei oikeastaan tarkoita mitään (se ei ole reaaliluku). Tällöin voidaan tulkita, että merkintä tarkoittaa osasummien jonoa, joka on aina hyvin määritelty.

Perustuloksia

Geometrinen sarja

Geometrinen sarja \[\sum_{k=0}^{\infty} aq^k\] suppenee, jos \(|q|<1\) (tai \(a=0\)), jolloin sen summa on \(\frac{a}{1-q}\). Jos \(|q|\ge 1\), niin sarja hajaantuu.

Todistus. Osasummille on voimassa \[\sum_{k=0}^{n} aq^k =\frac{a(1-q^{n+1})}{1-q},\] josta väite seuraa.
\(\square\)

Yleisemmin \[\sum_{k=i}^{\infty} aq^k = \frac{aq^i}{1-q} = \frac{\text{sarjan 1. termi}}{1-q},\text{ jos } |q|<1.\]

Esimerkki 1.

Määritä sarjan \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3}{4^{k+1}}\] summa.

Ratkaisu. Koska \[\frac{3}{4^{k+1}} = \frac{3}{4}\cdot \left( \frac{1}{4}\right)^k,\] niin kyseessä on geometrinen sarja. Sen summa on \[\frac{3}{4}\cdot \frac{1/4}{1-1/4} = \frac{1}{4}.\]

Laskusääntöjä

Suppenevien sarjojen ominaisuuksia:
  • \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k}\)
  • \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} (c\, a_k) = c\sum_{k=1}^{\infty} a_k}\), kun \(c\in \mathbb{R}\) on vakio

Todistus. Nämä seuraavat vastaavista tuloksista jonojen raja-arvolle.
\(\square\)


Huomautus: Sarjoilla ei ole jonojen kaltaista tulosääntöä, koska jo kahden termin summille \[(a_1+a_2)(b_1+b_2) \neq a_1b_1 +a_2b_2.\] Tulosäännön oikea muoto on sarjojen Cauchy-tulo, jossa myös ristitermit otetaan huomioon.

Katso esimerkiksi https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product

Lause 1.

Jos sarja \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}\) suppenee, niin \[\displaystyle{\lim_{k\to \infty} a_k =0}.\]

Kääntäen: Jos \[\displaystyle{\lim_{k\to \infty} a_k \neq 0},\] niin sarja \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}\) hajaantuu.

Todistus.

Jos sarjan summa on \(s\), niin \(a_k=s_k-s_{k-1}\to s-s=0\).
\(\square\)


Huomautus: Ominaisuutta \(\lim_{k\to \infty} a_k = 0\) ei voi käyttää sarjan suppenemisen osoittamiseen; vrt. seuraavat esimerkit. Tämä on eräs yleisimmistä päättelyvirheistä sarjojen kohdalla!

Esimerkki

Tutki sarjan \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k+1} = \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\dots\] suppenemista.

Ratkaisu. Sarjan yleisen termin raja-arvo on \[\lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+1} = 1.\] Koska raja-arvo ei ole nolla, niin sarja hajaantuu.

Harmoninen sarja

Harmoninen sarja \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots\] hajaantuu, vaikka yleisen termin \(a_k=1/k\) raja-arvo on nolla.

Todistus.

Tämän klassisen tuloksen todisti ensimmäisenä 14. vuosisadalla Nicole Oresme, jonka jälkeen monia muitakin perusteluja on keksitty. Tässä esimerkkinä kaksi erilaista päättelyä.

i) Alkeellinen todistus. Oletetaan, että sarja suppenee ja yritetään johtaa tästä ristiriita. Olkoon siis \(s\in\mathbb{R}\) harmonisen sarjan summa: \(s = \sum_{k=1}^{\infty}1/k\). Tällöin \[ s = \left(\color{#4334eb}{1} + \color{#eb7134}{\frac{1}{2}}\right) + \left(\color{#4334eb}{\frac{1}{3}} + \color{#eb7134}{\frac{1}{4}}\right) + \left(\color{#4334eb}{\frac{1}{5}} + \color{#eb7134}{\frac{1}{6}}\right) + \dots = \sum_{k=1}^{\infty}\left(\color{#4334eb}{\frac{1}{2k-1}} + \color{#eb7134}{\frac{1}{2k}}\right). \] Selvästi \[ \color{#4334eb}{\frac{1}{2k-1}} > \color{#eb7134}{\frac{1}{2k}} > 0 \text{ kaikille }k\ge 1~\Rightarrow~\sum_{k=1}^{\infty}\color{#4334eb}{\frac{1}{2k-1}} > \sum_{k=1}^{\infty}\color{#eb7134}{\frac{1}{2k}} = \frac{s}{2}, \] joten \[ s = \sum_{k=1}^{\infty}\color{#4334eb}{\frac{1}{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty}\color{#eb7134}{\frac{1}{2k}} = \sum_{k=1}^{\infty}\color{#4334eb}{\frac{1}{2k-1}} + \frac{1}{2}\underbrace{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}}_{=s}. \] \[ = \sum_{k=1}^{\infty}\color{#4334eb}{\frac{1}{2k-1}} + \frac{s}{2} > \sum_{k=1}^{\infty}\color{#eb7134}{\frac{1}{2k}} + \frac{s}{2} = \frac{s}{2} + \frac{s}{2} = s. \] Päädyimme siis epäyhtälöön \(s>s\), joka on ristiriita. Alkuperäinen oletus suppenemisesta on siis väärä, joten sarja hajaantuu.

\(\square\)


ii) Todistus integraalin avulla: Pylvään korkeuksia \(1/k\) vastaavan histogrammin alapuolelle jää funktion \(f(x)=1/(x+1)\) kuvaaja, joten pinta-aloja vertaamalla saadaan \[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \ge \int_0^n\frac{dx}{x+1} =\ln(n+1)\to\infty, \] kun \(n\to\infty\).
\(\square\)

Positiiviset sarjat

Sarjan summan laskeminen on usein vaikeata ja monesti jopa mahdotonta, jos vaatimuksena on summan eksplisiittinen lauseke. Moniin sovelluksiin riittää myös summan likiarvo, mutta sitä ennen olisi syytä selvittää, onko sarja suppeneva vai hajaantuva.

Sarja \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} p_k}\) on positiivinen (tai positiiviterminen), jos \(p_k > 0\) kaikilla \(k\).

Positiivisten sarjojen suppeneminen on hyvin selväpiirteistä:

Lause 2.

Positiivinen sarja suppenee täsmälleen silloin, kun sen osasummien jono on ylhäältä rajoitettu.

Syy: Osasummien jono on nouseva.

Esimerkki

Osoita, että superharmonisen sarjan \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\] osasummille pätee \(s_n<2\) kaikilla \(n\), joten sarja suppenee.

Ratkaisu. Ratkaisu perustuu epäyhtälöön \[\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\] kun \(k\ge 2\), koska sen mukaan \[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} < 1+ \sum_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)} =2-\frac{1}{n}< 2\] kaikilla \(n\ge 2\).

Tämän päättelyn voi tehdä myös integraalin avulla.


Leonhard Euler selvitti vuonna 1735, että sarjan summa on \(\pi^2/6\). Perusteluna hän käytti sinifunktion sarja- ja tulokehitelmien vertailua.

Itseinen suppeneminen

Määritelmä

Sarja \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}\) suppenee itseisesti, jos positiivinen sarja \(\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|\) suppenee.


Lause 3.

Itseisesti suppeneva sarja suppenee (tavallisessa mielessä) ja \[\left| \sum_{k=1}^{\infty} a_k \right| \le \sum_{k=1}^{\infty} |a_k|.\]

Tämä on erikoistapaus majoranttiperiaatteesta, josta lisää myöhemmin.

Todistus.

Oletetaan, että \(\sum_k |a_k|\) suppenee. Tarkastellaan erikseen  sarjan \(\sum_k a_k\) positiivista ja negatiivista osaa: Olkoon \[b_k=\max (a_k,0)\ge 0 \text{ ja } c_k=-\min (a_k,0)\ge 0.\] Koska \(b_k,c_k\le |a_k|\), niin positiiviset sarjat \(\sum b_k\) ja \(\sum c_k\) suppenevat  lauseen 2  perusteella. Lisäksi \(a_k=b_k-c_k\), joten \(\sum a_k\) suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena.
\(\square\)

Esimerkki

Tutki vuorottelevan (= etumerkit vaihtelevat vuorotellen + ja -) sarjan \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k^2}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\dots\] suppenemista.

Ratkaisu. Koska \[\displaystyle{\left| \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}\right| =\frac{1}{k^2}}\] ja superharmoninen sarja \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\] suppenee, niin tutkittava sarja suppenee itseisesti, ja sen vuoksi myös tavallisessa mielessä.

Vuorotteleva harmoninen sarja

Itseinen suppeneminen ei kuitenkaan tarkoita samaa kuin tavallinen suppeneminen:

Esimerkki

Vuorotteleva harmoninen sarja \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots\] suppenee, mutta ei itseisesti.

(Idea) Piirretään osasummajonon \((s_n)\) kuvaaja, josta huomataan, että parillisten ja parittomien indeksien osasummat \(s_{2n}\) ja \(s_{2n+1}\) ovat monotonisia ja suppenevat kohti samaa raja-arvoa.


Sarjan summa on \(\ln 2\), joka saadaan selville integroimalla geometrisen sarjan summakaavaa.

Vuorottelevan harmonisen sarjan 100 ensimmäistä osasummaa;
pisteet on yhdistetty janoilla havainnollisuuden vuoksi

Suppenemistestejä

Vertailutestit

Edelliset tarkastelut yleistyvät seuraavalla tavalla:

Lause 4.

(Majoranttiperiaate) Jos \(|a_k|\le p_k\) kaikilla \(k\) ja \(\sum_{k=1}^{\infty} p_k\) suppenee, niin myös \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) suppenee.

(Minoranttiperiaate) Jos \(0\le p_k \le a_k\) kaikilla \(k\) ja \(\sum p_k\) hajaantuu, niin myös \(\sum a_k\) hajaantuu.

Todistus.

Majorantin todistus. Koska \[a_k=|a_k|-(|a_k|-a_k)\] ja \[0\le |a_k|-a_k \le 2|a_k|,\] niin \(\sum a_k\) on suppeneva kahden suppenevan sarjan erotuksena. Tässä käytetään aikaisempaa lausetta 2 positiivisille sarjoille; kyseessä ei ole kehäpäättely!

Minorantin todistus. Oletuksista seuraa, että sarjan \(\sum a_k\) osasummat kasvavat rajatta, joten sarja hajaantuu.
\(\square\)

Esimerkki

Tutki sarjojen \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+k^3} \ \text{ ja }\ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} \] suppenemista.

Ratkaisu. Koska\[0<\frac{1}{1+k^3} < \frac{1}{k^3}\le \frac{1}{k^2}\] kaikilla \(k\in \mathbb{N}\), niin ensimmäinen sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla.

Toisaalta \[\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{k}}\ge \frac{1}{k}}\] kaikilla \(k\in\mathbb{N}\), joten toisella sarjalla on hajaantuva harmoninen minorantti, joten se hajaantuu.

Suhdetesti

Käytännössä eräs parhaista tavoista tutkia suppenemista on suhdetesti, jossa sarjan peräkkäisten termien käyttäytymistä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan:

Lause 5a.

Oletetaan, että on olemassa sellainen vakio \(0< Q < 1\), että \[ \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \le Q\] jostakin indeksistä \(k\ge k_0\) alkaen.

Tällöin sarja \(\sum a_k\) suppenee (ja sen "suppenemisnopeus"\ on samaa luokkaa kuin geometrisella sarjalla \(\sum Q^k\), tai jopa parempi).

Todistus.

Koska sarjan alkuosa ei vaikuta suppenemiseen (mutta se vaikuttaa  toki summaan!), niin voidaan olettaa epäyhtälön pätevän kaikilla indekseillä \(k\).

Tästä seuraa, että \[|a_{k}|\le Q|a_{k-1}|\le Q^2|a_{k-2}|\le \dots\le Q^k|a_0|,\] joten sarjalla on geometrinen majorantti, ja se suppenee.
\(\square\)

Suhdetestin raja-arvomuoto

Lause 5b.

Oletetaan, että raja-arvo \[\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = q\] on olemassa. Silloin sarja \(\sum a_k\) \[ \begin{cases}\text{suppenee,} & \text{ jos } 0\le q< 1,\\ \text{hajaantuu,} & \text{ jos } q > 1,\\ \text{voi olla suppeneva tai haantuva,} & \text{ jos } q=1. \end{cases} \]


(Idea) Geometriselle sarjalle kahden peräkkäisen termin suhde on täsmälleen \(q\). Suhdetestin mukaan muidenkin sarjojen suppenemista voidaan (usein) tutkia samalla periaatteella, kun suhdeluku \(q\) korvataan tällä raja-arvolla.

Todistus.

Valitaan raja-arvon määritelmässä \(\varepsilon =(1-q)/2>0\). Silloin jostakin indeksistä \(k\ge k_{\varepsilon}\) alkaen pätee \[ |a_{k+1}/a_k| < q + \varepsilon = (q+1)/2 = Q < 1, \] ja väite seuraa lauseesta 4.


Tapauksessa \(q>1\) sarjan yleinen termi ei lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu.


Viimeinen tapaus \(q=1\) ei sisällä mitään informaatiota (eikä myöskään todistettavaa).

Tämä tapaus esiintyy sekä harmonisen (\(a_k=1/k\), hajaantuu!) että yliharmonisen (\(a_k=1/k^2\), suppenee!) sarjan kohdalla. Näissä tapauksissa suppenemista täytyy tutkia joillakin muilla menetelmillä, kuten aikaisemmin tehtiin.
\(\square\)

Esimerkki

Onko sarja \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}k}{2^k}= \frac{1}{2}-\frac{2}{4}+\frac{3}{8}-\dots\] suppeneva?

Ratkaisu. Tässä \(a_k=(-1)^{k+1}k/2^k\), joten \[ \left| \frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left| \frac{(-1)^{k+2}(k+1)/2^{k+1}}{(-1)^{k+1}k/2^k}\right| =\frac{k+1}{2k} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2k}\to \frac{1}{2} < 1, \] kun \(k\to\infty\). Suhdetestin perusteella sarja suppenee.