MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 10.1.2023-20.2.2023

Taylorin kaava

Yhden muuttujan tapauksessa $m+1$ kertaa jatkuvasti derivoituvaa funktiota $f\colon I \to \mathbb{R}$ voidaan approksimoida kaavalla $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \ldots + \frac{f^{(m)}(a)}{m!}(x-a)^m.$ kun $a,x\in I$.

Tämä idea yleistyy usean muuttujan tapaukseen: Jos $\mathbf{a}, \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$, $n\ge 2$ ja funktiolla $f\colon D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ on jatkuvat kertaluvun $(m+1)$ osittaisderivaatat pisteitä $\mathbf{a},\mathbf{a}+\mathbf{h}$ yhdistävällä janalla, niin $f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) \approx \sum_{j=0}^m\frac{(\mathbf{h} \cdot \nabla)^jf(\mathbf{a})}{j!}.$

Perustelu. Yksinkertaisuuden vuoksi johdetaan tässä kaava tapauksessa $n=2$ riittävän sileille funktioille. Olkoon $D\subset\mathbb{R}^{2}$ avoin ja funktio $f\colon D\to\mathbb{R}$ äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva. Lisäksi oletetaan, että $\mathbf{a}+t\mathbf{h}\subset D$, kun $0\le t\le 1$. Tällöin oleellisesti myös apufunktion $F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},F(t)=f(\mathbf{a}+t\mathbf{h})$ kaikki derivaatat ovat jatkuvia suljetulla välillä $\left[0,1\right]$.

Ketjusäännön nojalla saadaan apufunktiota derivoimalla $F'(t) = h_{1}f_{x}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{2}f_{y}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)f(\mathbf{a}+t\mathbf{h})$ $F''(t) = h_{1}h_{2}f_{xx}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{1}h_{2}f_{xy}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{2}h_{1}f_{xy}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{2}h_{2}f_{yy}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)^{2}f(\mathbf{a}+t\mathbf{h})$ $\vdots$ $F^{(j)}(t) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)^{j}f(\mathbf{a}+t\mathbf{h}).$ Tästä havaitaan, että $F^{(j)}(0) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)^{j}f(\mathbf{a})$ ja siten yhden muuttujan funktion $F$ Taylorin sarjakehitelmä on muotoa $F(t) = F(0) + F'(0)t + \frac{1}{2}F''(0)t^{2}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty}\frac{F^{(j)}(0)}{j!}t^{j}.$ Asettamalla tässä $t=1$ saadaan haluttu tulos, $f(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) = f(\mathbf{a})+\mathbf{h}\cdot\nabla f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2}(\mathbf{h}\cdot\nabla)^{2}f(\mathbf{a})+\dots$ $=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(\mathbf{h}\cdot\nabla)^{j}}{j!}f(\mathbf{a}).$

Esimerkki

Olkoon $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ ja $f(x,y)$ neljä kertaa jatkuvasti derivoituva kiekossa $(a,b)$-keskisessä $r$-säteisessä kiekossa. Etsitään 3. asteen approksimaatio. Jos $\mathbf{h} =(h,k)$, niin $$\begin{align*} f(a+h,b+k)&\approx f(a,b) + (hD_1+kD_2)f(a,b) +\frac{1}{2!}(hD_1+kD_2)^2f(a,b) \\ &\quad +\frac{1}{3!}(hD_1+kD_2)^3f(a,b) \\ &= f(a,b) + hf_{x}(a,b)+kf_{y}(a,b) \\ &\quad+ \frac{1}{2!}\Big(h^2f_{xx}(a,b)+2hkf_{xy}(a,b)+k^2f_{yy}(a,b)\Big) \\ &\quad+\frac{1}{3!}\Big(h^3f_{xxx}(a,b)+ 3h^2kf_{xxy}(a,b)+3hk^2f_{xyy}(a,b)+k^3f_{yyy}(a,b)\Big). \end{align*}$$

Huom. 1. asteen Taylor-approksimaatio on sama kuin tangenttitaso.

Esimerkki

Etsitään 2. asteen Taylor-approksimaatio funktiolle $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^3}$ pisteen $(1,2)$ ympäristössä.

Lasketaan $f(1,2)=3$, $f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^3}},\quad f_{y}(x,y)=\frac{3y^2}{2\sqrt{x^2+y^3}},$ eli $f_{x}(1,2)=1/3$ ja $f_{y}(1,2)=2$. Edelleen $f_{xx}(x,y)=\frac{y^3}{(x^2+y^3)^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad f_{xx}(1,2)= \frac{8}{27},$ $f_{xy}(x,y)=\frac{-3xy^2}{2(x^2+y^3)^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad f_{xy}(1,2)= -\frac{2}{9},$ $f_{yy}(x,y)=\frac{12x^2y+3y^4}{4(x^2+y^3)^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad f_{yy}(1,2)= \frac{2}{3}.$ Siten $$\begin{align*} f(1+h,2+k) &\approx 3 + \frac{1}{3}h + 2k + \frac{1}{2!}\Big(\frac{8}{27}h^2+2\Big(-\frac{2}{9}\Big)hk+\frac{2}{3}k^2\Big) \\ &= \frac{4}{27}h^2-\frac{2}{9}hk+\frac{1}{3}k^2+\frac{1}{3}h + 2k + 3. \end{align*}$$